Aljabar
Aljabar
telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu.
Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia
pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis
pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi
dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The
Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang
menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik
terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu muridnya, Omar
Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa
abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton
(1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di
alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang
melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah
cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan
bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan
bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi
sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.
Sekarang
ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar
Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan
sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja
secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan
simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan
dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
Asal Mula Aljabar
Asal
mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang
mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka
mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini.
Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan
menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah
yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan
Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan
kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama
sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk
memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam
‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’,
dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa
Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan
kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar
solusi khusus dari suatu permasalahan
tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan
memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Seperti
telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab
"al-jabr" yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang
berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and
Balancing"), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa
al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan
(reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara
tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang
masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut
Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi
menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang
rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang
mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah
masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam
‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar
Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri
dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta
Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam
persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan
lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide
tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa
Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun
kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara
simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan
hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar
Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori
Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:
- Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;
- Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;
- Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan
- Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.
Klasifikasi dari Aljabar
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1.
Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan
riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan Aturan
yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan
simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan
di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’);
2.
Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang
mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang
didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam
studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring,
Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field)
dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang
kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
Aljabar Elementer
Aljabar Elementer adalah bentuk
paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum
mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika
Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi
Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi
disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a,
x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita
menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a
untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk
penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan
menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung,
mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung
variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang
memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal ini juga mengijinkan kita untuk
membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai
contoh "Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x
- 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.").
0 komentar:
Posting Komentar